エッセイにbecauseで始まる文章は入れてはいけないといわれましたが本当でしょうか？

becauseで文章を始めていけない、という訳は、becauseが接続詞としてだけでなく、名詞節単独でも使用することがあるからです。そしてこの名詞節を単独で使用してしまう文法的間違いが非常に多く、その場合通常becauseで始まる文章になりますので、「becauseで文章を始めていけない」というフレーズが残っているのだと思います。

例えば、why did you go? という質問に対して、Because I wanted to go home.という単独の名詞節で回答することが可能です。ただこれですと名詞節のみで終わっていますので、口語ではよく使いますが、文法的には誤りです。正確には、It is because I want to go home.とあくまで名詞節として5文型の中で使用する必要があります。ただこの名詞節を単独で使用されてしまう方が多く、becauseから始まる文章は文法的に間違っている、という解釈が広まっているのだと思います。

接続詞として使用する場合は、ご存じの通りbeccauseで始まる文章を従属節として使用します。その場合は、I left the party because I wanted to go homeとなり、becuseが名詞節を作っていることは変わりませんが、単独ではなく従属節として働いています。この従属節と主節の順番を逆にすることはもちろん可能で、学術的な論文に使用したとしても全く問題はありません。ただその場合は、becauseの後にカンマを入れ、従属節と主節の関係性を明確にする必要があります（主節が先に来る場合はカンマは必要ありません）。

なお従属節と主節の順番は、文法的に明確なルールはありません。あくまで文脈の中で決まります。ただ通常2番目の文章内の名詞は代名詞になることも多く、どちらを強調したいのか、という解釈で順番を決めている方が多いのではないかと思います。